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 作者：Julian Emmerich and Harald Rudolph，KVG Quartz Crystal Technology GmbH

在电气元件和电路中，具有不同物理原因的噪声效应无处不在。在晶体振荡器中，有三种主要的噪声产生机制：由于所有元件的原子和分子的热运动而产生的无处不在的背景噪声，它主要影响到远离载波的噪声（白噪声）。由半导体元件引起的噪声被称为射出（shot）噪声，它对频率有1/f的依赖性。靠近载波的主要噪声源被称为闪烁（flicker）噪声，这主要取决于晶体的质量。晶体的高Q因子抑制了靠近载波的噪声。根据不同的应用，噪声有不同的描述。相位噪声、抖动和短期稳定性是观察相同物理现象的不同方式。本文概述了他们的相互关系。

理想的振荡器产生一个随时间变化的正弦波输出电压，其形式为：

振幅A₀，频率f₀。这个正弦波有一个完美的周期，u(t)的傅里叶变换是一个频谱纯正的德尔塔函数δ(f-f₀)。一个非理想的噪声信号u'(t)可以通过引入一个振幅噪声∈(t)和一个时域信号的相位噪声Δφ(t)的项来进行一般描述，该项由以下公式给出：

这里A₀是纯正弦信号的振幅，f₀它的标称基本频率，可以解释为统计平均值。在这种情况下，频谱不再是频谱纯净的，而是频率的函数，或者更准确地说，是随时间变化的电压信号的傅里叶变换。

图1显示了由相位噪声引起的短期频率不稳定。它们在时域中显示为实际信号波形的零点交叉点（相位角）与理想正弦波的偏差。该图中没有显示振幅的调制。

图1 纯正弦波（a）和随机、随时间变化的相位偏差=δφ的影响。

在下面的讨论中，只考虑相位角的时间变化，它是由随机的也就是高斯分布过程引起的。在下文中，描述了三种最重要的形式，即相位噪声L(f)、抖动ΔT(Δf)和短时稳定性。

相位噪声

将信号源的相位不稳定性视为相位噪声是本文要考虑的可能表现形式之一。相位噪声信号的振幅L(f)，更确切地说，是相位噪声的功率谱密度，随着与载波的距离增加而增加。单边带相位噪声的经验描述是由所谓的Leeson公式给出的。它描述了相位噪声的振幅与振荡器的载波频率f₀、其质量系数Q_l、截止频率f_c、放大器的噪声系数F、玻尔兹曼常数k_B、绝对温度T和输出功率P_s的关系：

无需详细分析这个方程，就可以很容易地估计出小频率和大频率f的相位噪声的行为。对于与载波的小频率距离，两个因素和增长。由于对数的单调性，L(f)也会增长。在远离载波的地方，对于f→∞，这两个项消失了，相位噪声趋向于数值。¹

因此，非常重要的是，对最大相位噪声的要求包括与载波的确切距离，在这个距离上规定相位噪声的具体数值。靠近载波的部分主要由晶体的Q值决定，而频率高于1kHz的相位噪声部分则由所用半导体器件的噪声决定。

原则上，如果测量设备的本地振荡器的相位噪声性能明显优于被测设备（DUT），并且采样率远远高于信号的奈奎斯特频率，那么振荡器的相位噪声总是可以通过频谱分析仪直接测量（大约）。使用快速傅里叶变换（FFT）的频谱分析可以用来确定远离载波频率的噪声的频谱分布。然而，在这里，测量受到噪声特性和频谱分析仪的有限采样率的限制。

在下文中，将介绍一种更精确的测量方法，它也可以测量具有极低相位噪声的DUT。这种方法普遍有效，也适用于高相位噪声的振荡器。为了确定相位噪声，使用了所谓的相位检测器方法与锁相环（PLL）同步的参考相位。

图2 用于确定振荡器（DUT）相位噪声的PLL测量。

如图2所示，这种方法使用一个正交混频器作为相位检测器。在这里，参考振荡器和混频器形成一个PLL。通过操纵参考振荡器的控制电压，寻求一种条件，即测试振荡器（DUT）的信号和参考振荡器的信号在同一频率下有一个相对于对方的相移。这两个信号在混频器中混合。一般来说，对于给定的输入信号f_a和f_b，混频器的输出信号可以描述为高频和信号（f+f_ab）和低频差信号|f-f_ab|的叠加。

混频器输出端的不需要的和信号通过低通滤波器被去除，因此只剩下差分信号。以这种方式过滤的低频信号分量产生一个随时间变化的电压v(t)，其最大振幅由相位检测器常数K_D的比例系数决定。一般来说，K_D与设备有关，对相位噪声L(f)的计算没有影响。

考虑到∝<<1的小角度近似cos(∝)≈∝，方程（4）可以简化，假设平均相位差为。

相位比较器的输出电压v(t)被评估为对时域中相位变化的测量。单边带相位噪声L(f)的计算是通过频域的FFT来进行的。如果参考振荡器具有与测试振荡器相同的相位噪声特性，测量结果必须被修正为-3dB（系数为0.5），因为两个振荡器的不相关的噪声功率相加。如果参考振荡器的相位噪声至少好十倍，则不需要校正。

图3 载波频率为10MHz的超低相位噪声振荡器的相位噪声测量。

图3是KVG石英晶体技术公司的超低相位噪声振荡器的相位噪声测量实例，其载波频率为10MHz。该测量是用Holzworth相位噪声分析仪进行的，测量时间为1小时。在1Hz偏移时，近载波相位噪声值为-122.5dBc/Hz，在10kHz时，相位噪声为-169dBc/Hz，都显示了物理上可行的极限。

在相同的频率下，一个标准的OXCO在1Hz载波偏移下的相位噪声比超低相位噪声振荡器差20dBc/Hz。相位噪声测量对来自测量装置环境的机械或电磁干扰非常敏感。在图3中，可以观察到相位噪声测量的小干扰，例如，在50Hz（家庭电流的主频）和16.7Hz（德国铁路的主频），这可以通过测量设备的适当主滤波器和振荡器的控制电压进一步减少。

抖动

除了相位噪声，抖动是周期性信号的相位角偏差的另一种表现。它可以用图形来解释为信号在一系列信号周期内偏离其理想位置的时间偏差。如果有一个理想的测量设备（无限的时间分辨率和没有固有的噪声），人们可以通过绝对时间测量来观察单个时钟边缘并得出一个抖动值。然而，即使有最好的测量设备，这也是不可能的。

在实践中，抖动测量通常来自于前面描述的相位噪声测量，后面将详细说明。对于直接的抖动测量，采用所谓"眼图"的方式进行测量，其中相对于参考边缘进行测量。

图4 使用延迟信号的抖动测量。

眼图由待测信号曲线的许多部分叠加而成。图4显示了一个示例性的测量设置。来自被测物的信号被一个分路器分割，其中一条信号路径通过延迟线，其延迟大于信号的周期。非延迟信号作为一个触发器，延迟信号被应用到示波器的输入。这导致相移总是相对于前面的一个信号边沿测量。通过叠加大量的这些测量值，可以通过统计分析从"开眼图"中确定抖动幅度的定量值。

图5 从眼图中推导出抖动。

图5是一个眼图的例子。由于固有的信号触发器，信号边缘根据其相位移动被映射在彼此之上。从几个振荡周期的叠加中，可以确定诸如平均周期持续时间和抖动等。从过零点时的信号分布宽度，可以在统计学基础上计算出抖动的定量值。在这个例子中，抖动的峰-峰值显示为信号曲线的最大扩展。

这种测量方法在频率范围f=1/(2πτ_d)以下会受到示波器噪声的限制，其中τ_d是延迟线的长度。在这个截止频率以下，灵敏度每decade下降约20dB。因此，这种方法非常适用于远离载波的频率的抖动测量，例如边带。

振荡器中的噪声基本上是一个随机过程的叠加。因此，峰值通常是在纯统计的基础上指定的，使用高斯分布作为分布函数。这导致峰值和有效值之间的波峰系数（峰值与有效值之比）为3，或峰-峰和有效值之间的系数为6。最大的抖动幅度有99.7%的概率（偏差在±3σ的区间内）在指定的峰-峰值的统计范围内。在测量和指定抖动时，必须注意规格是以有效值（RMS）、峰值（peak）还是峰-峰值（peak-to-peak）表示。

短期稳定性

与相位噪声和抖动一起，短期稳定性可用于描述信号的相位偏差。以物理学家D.W.Allan命名的Allan偏差，被用作短期稳定性的常用衡量标准。Allan偏差（ADEV）被定义为Allan方差σ²(τ)的平方根：

这里，Allan方差本身被定义为两个连续测量值（这里表示为y_n和y_n+1）在时间间隔τ中的归一化频率偏差的差值平方的一半。应该注意，ADEV是平均时间τ的函数，它定义了计算预期平均值的周期。

与经典方差相比，Allan方差只考虑两个连续测量值的偏差，而经典方差在每种情况下都要测量与平均值的偏差。这导致了对所有种类的噪声的收敛，即使是具有均值漂移的长平均时间（如随机行走过程）。

ADEV形式的短期稳定性的测量可以通过不同的方式进行。对于低频信号和低短期稳定性，两个连续振荡期之间的频率偏差可以通过绝对时间测量直接确定。下面将介绍许多可能的测量方法中的一种，它也适用于高精度信号的测量。

图6 使用双混合信号确定短期稳定性。

如图6所示，双混频器时差法除了DUT之外，还需要一个参考振荡器和一个所谓的转移振荡器。在这个简单的例子中，参考振荡器必须具有比DUT更好的短期稳定性。在测量过程中，转移振荡器对其他两个信号源稍有失谐。在这里，几Hz到几kHz的失谐可以得到最好的结果，这取决于应用。

通过将此信号与DUT和参考的两个信号混合，并随后进行低通滤波，产生两个低频信号。这些信号被用作时间间隔计数器的启动和停止触发器。通过时间间隔计数器，两个信号的零交叉点之间的时间差被测量。根据所需的平均时间τ，必须设置转移振荡器的适当频率偏移。

如果参考振荡器的短期稳定性不明显优于DUT的短期稳定性，这就不能再被忽视了。这种影响可以通过使用另一个参考振荡器来进行数学校正。为此，我们提到了所谓的"三角帽法"。²

图7 10MHz超低相位噪声振荡器的ADEV测量。

图7是一个对KVG石英晶体技术公司的超低相位噪声振荡器进行ADEV测量的例子，其载波频率为10MHz。由于DUT具有非常好的短期稳定性，测量采用了三角帽法。两个各10MHz的振荡器被用作参考。总的测量时间为4小时，采样间隔为0.1秒。在时间间隔为τ=1秒时，测试振荡器的ADEV达到1.8×10^-13。

不同类型的关系

相位噪声和抖动

如前所述，相位噪声和抖动是描述同一物理信号特性的两种不同方式。因此，显然要寻找将它们联系起来的可能性。在定义的频率范围内的抖动可以通过在频率上积分L(f)从相位噪声的测量值计算出来。对于给定的单边带相位噪声L(f)，频率区间f₁到f₂内的抖动功率P定义为：

应该注意的是，相位噪声的归一化系数为2πf₀，其中f₀代表载波频率。这也确保了单位的正确转换。

在指定的频率范围内，抖动的有效值ΔT(Δf)可以计算为抖动功率P的平方根：

图8 抖动可以通过在一个频率区间内积分相位噪声来计算。^3,4

如前所述，这种转换提供了另一种间接测量抖动的方法。通常在实践中，相位噪声是在1Hz到10MHz左右的典型偏移范围内确定的。由此，得出的抖动值可以通过在不同频率范围内的积分灵活地计算出来（图8）。

从数学上讲，从某些带宽上的抖动测量值反向计算相位噪声是不可能的，因为为此必须知道所有可能的带宽/频率区间的抖动。

相位噪声和短期稳定性

短期稳定性也可以从L(f)的值中用数学方法确定。从相位噪声（频率的函数）到ADEV（时间的函数）的过渡可以通过傅里叶变换来描述。这种变换的推导远远超出了本文的范围，所以请参考Barnes等人的文章。⁵

因此，Allan方差，可以写成整个频率范围内的积分，载波频率f₀、平均时间τ和频率偏移f作为积分变量。

来自方程（10）的属性对相位噪声的频谱分布提出了某些条件，例如，在与载波的大距离上，相位噪声变得非常小。这些约束条件在数学上也非常深入，所以没有进一步考虑。

总结

21世纪的现代技术对高精度频率源，如石英振荡器，具有极低噪声特性的需求是无可争议的。无论是测量技术、数据传输还是导航，在所有领域都有对信号源提出最高要求的应用。

根据不同的应用，所描述的测量参数中的一个被证明是实用的。在电信领域，通常采用最大抖动值，因为它可以用来推算出离散信息传输过程中的误码率有多高。另一方面，在计量学中，振荡器通常由相位噪声曲线来描述，其中相位噪声值在离载波信号的不同距离被指定，这取决于接近或远离载波的相位噪声与具体应用有关。

由于所有的方法都是基于相同的物理现象，如果数据足够完整，就可以从一种表现形式转换到另一种。

参考文献

1. E. Rubiola, Phase Noise and Frequency Stability in Oscillators, Cambridge University Press, 2009.
2. F. Vernotte, M. Addouche, M. Delporte and M. Brunet, “The Three Cornered Hat Method: An Attempt to Identify Some Clock Correlations,” Proceedings of the IEEE International Frequency Control Symposium and Exposition, August 2004.
3. “Understanding Jitter Units,” Renesas Electronics Corporation, Application Note AN-815, Rev. A, March 2014, Web: https://www.renesas.com/eu/en/document/apn/815-understanding-jitter-units?language=en.
4. D. Herres, “Measuring Oscillator Jitter,” EE World, August 2017, Web: https://www.testandmeasurementtips.com/measuring-oscillator-jitter/.
5. J. A. Barnes, A. R. Chi, L. S. Cutler, D. J. Healey, D. B. Leeson, T. E. McGunigal, J. A. Mullen, W. L. Smith, R. L. Sydnor, R. F. C. Vessot and G. M. R. Winkler, “Characterization of Frequency Stability,” IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, Vol. IM-20, No. 2, May 1971, pp. 105–120.